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Na, da muss ich wohl sicherheitshalber mit den Grundlagen anfangen:<BR>Eine Potenzmenge P<I>M</I>={T|T<=M}<BR>(n,0)=1;(n,n)=1<P> (n,k) ist die Möglichkeit, wieviele Kombinationen aus n Elementen mit k Elementen gebildet werden kann: <BR>Zeichen: a,b,c<BR>Wieviele Kombinationen (ohne Wiederholung) mit 2 Element lassen sich bilden?<BR>(3,2)=3<BR>{ab,ac,bc}<P>(n,0)+(n,1)+(n,2)+(n,3)+...+(n,n)=2^n<P>PROST MAHLZEIT
Und das eigentlich "Problem": Wieviele Element hat eine Potenzmenge P<I>M</I>?<p>[ 25.05.2001: Beitrag editiert von: braveheart ]
[img]images/icons/confused.gif" border="0[/img]<BR>Was hat denn das (n,0)+(n,1)+...(n,n) = 2^n mit der 2er Kombination oben zutun???<BR>Die 3 ergibt sich doch aus:<P>n!<BR>----------<BR>(n-k)! * k<P>wobei n die möglichen Ereigisse sind und k die Anzahl der Ziehungen. (n! heißt n-Fakultät)<P>also 3*2*1 / (1 * 2) = 3<P><BR>Ich seh grade, du hast meine Antwort ja in "Schreibweise" schon selbst geschrieben. [img]images/icons/wink.gif" border="0[/img]<p>[ 26.05.2001: Beitrag editiert von: Gero ]
OK, jetzt zum interessanten Teil:<P>Man nehme eine handelsübliche, unendlich grosse Menge, z.B: alle Symbole {a, b, 7, /, ...}<BR>Man bilde die Potenzmenge dieser Symbole. (Ist ja auch irgendwie unendlich gross, oder?)<P>Welche Menge ist grösser?<P>Schönen Gruss von Georg<p>[ 29.05.2001: Beitrag editiert von: GrimReaper ]
Moin<P>Im Unendlichen schneiden sich 2 Parallelen, also sind beide Mengen gleich groß [img]images/icons/wink.gif" border="0[/img]<P><BR>Gero
Knapp daneben ist auch vorbei!
Hmm,<BR>ich glaub ich versuchs mal, konnte mich zwar nie mit der Mengelehre anfreunden aber was solls...<P>Also, ersmal fakten sammeln<P>1) <B>endliche Mengen</B><BR>bei einer endlichen Mengen mit m Elementen<BR>hat die Menge aller Teilmengen bzw. die Potenzmenge 2^m Elemente.<BR>das ist Fakt und trivial, brauchen wir nicht drüber diskutieren.<P> so jetzt kommt der interessante Teil<BR>2) <B>unendliche Mengen</B><BR>also Fakt ist das eine Menge niemals gleichmächtig zu seiner Potenzmenge ist.<BR>Die Anzahl der Elemente (Kardinalzahl) einer Potenzmenge ist auf der <BR>Unendlichkeitsskala immer eine Stufe höher als die Kardinalzahl der Menge selber.<BR>Eigentlich wär hier die Aufgabe schon gelöst aber dazu müsste<BR>man wissen wieviel Elemente die Menge aller Symbole hat.<P>Es kann mit 100%er Sicherheit nur eine der beiden folgenden Lösungen sein<BR>a) die Menge aller Symbole ist abzählbar unendlich und somit ist <BR> die Potenzmenge aller Symbole überabzählbar unendlich <BR> (Potenzmenge von N)<BR>b) die Menge aller Symbole ist überabzählbar unendlich und somit ist<BR> die Potenzmenge aller Symbole überüberabzählbar unendlich <BR> (Potenzmenge der Potenzmenge von N)<P>Ich tendiere eher zu a)!!<P>bis dänn, odoggy
es scheint niemand zu bemerken, daß gero einen scherz (wiewohl ein bissel hinterhältigen) gemacht hat......<P>gruß<P>matho
*kopfschüttel*<P>Das ist aber eine MENGE Unsinn [img]images/icons/smile.gif" border="0[/img]<P>Die Mengenlehre dürfte so ziemlich das verdrehteste sein was die "nachgriechische" Mathematik (alter Studienwitz) ausgebrütet hat..<P>Ein schweizer Komiker hat das mal auf den Punkt gebracht:<P>1. Eine Menge Züricher<BR>2. Eine Menge Rindfleisch<P>Schnittmenge = Zürcher Geschnetzeltes [img]images/icons/smile.gif" border="0[/img]<P>Ich weiss das hat euch nicht geholfen..<BR>Das musste jetzt aber sein [img]images/icons/grin.gif" border="0[/img]<P>Grüsse Arkon<BR>P.S. (Auch ich darf mal Nonsens von mir geben)
@arkon<P><BR>Ooch, ick weeß nich,<P>son bissel Cantor, Dedekind, Bolzano, Hilbert, etcuswusf., schadet der allgemeinen<BR>Menschwerdung eher weniger.<BR>Wie gesacht: non notationes, sed notiones........<BR>daß das, einmal ein für allemal arschklar iss.<P>gruß<P>matho<p>[ 31.05.2001: Beitrag editiert von: matho ]
@Matho<BR>Keine Sorge, den Scherz hab' ich schon bemerkt! Aber wie die Bierdeckeltheorie uns lehrt, braucht man nicht die Unendlichkeit zu bemühen, um Parallelen zum schneiden zu bringen. Laut der Theorie schneidet nämlich jede fünfte Parallele die anderen im Winkel von 0,8 Promille...<BR>Deinen Lateinfetzen versteh ich übrigens nicht. (Ich hab' mein kleines Latrinum nur gekricht, weil ich meinem Lateinlehrer versprochen hab' sofort danach Latein abzuwählen) [img]images/icons/grin.gif" border="0[/img] <P>Aber jetzt zur Unendlichkeit.<BR>odoggy meint:<BR>'also Fakt ist das eine Menge niemals gleichmächtig zu seiner Potenzmenge ist.'<P>Genau darum geht's mir. Wieso ist das Fakt?<BR>Unendlich ist ja ein ganzer Batzen. Hilbert hat mal das Hotel mit unendlich vielen Betten erfunden. Wenn alles belegt ist und es kommt noch ein Gast, dann rücken einfach alle ein Zimmer weiter... und es passt!<P>Also: wo ist die Unendlichkeitsskala?<BR>(Zitat odoggy: 'Die Anzahl der Elemente (Kardinalzahl) einer Potenzmenge ist auf der Unendlichkeitsskala immer eine Stufe höher als die Kardinalzahl der Menge selber.')
@grimreaper<P>Das is leider nich mein Lateinfetzen, sondern einer von Carl-Friedrich Gauß, und er heißt: nicht Worte, sondern Begriffe........<P>Es ist halt wie im richtchen Leben: man darf Mächtigkeit nicht mit Größe verwechseln.<BR>In der Spezial-Ausgabe von Spektrum der Wissenschaft 1/2001 "Das Unendliche", Seite 20, ist das ganz anschaulich<BR>dargestellt. Gugg doch da mal rein, falls Du Lust hast.<P>gruß <P>matho
Bitte zum Thema: wieviele Elemente hat eine solche Potenzmenge? (Mich interessiert hieran weniger die Mengenlehre, sondern eher die Kombinatorik, welche sich nun mal am besten durch Mengen repräsentieren lässt!)<P>P.S: Natürlich sind unterschiedliche unendliche Mengen unterschiedlich gross: wir können zwar die unendl. Menge der geraden und nattürlichen Zahlen paaren, doch gibt es in der der geraden nur die halbe Anzahl einer Elemente; eine Potenzmenge ist immer >= ihrer Ausgangsmenge!)
Hallo,<P> <BLOCKQUOTE><font size="1" face="Verdana, Helvetica, sans-serif">Zitat:</font><HR><BR>Aber jetzt zur Unendlichkeit.<BR>odoggy meint:<BR>'also Fakt ist das eine Menge niemals gleichmächtig zu seiner Potenzmenge ist.'<BR><HR></BLOCKQUOTE><P>Na ja, ist ja eigentlich keine Meinung sondern eher 'ne Tatsache, weil es dazu einen Beweis gibt.<P><A HREF="http://www.univie.ac.at/future.media/mo/mathint/mengen/i_bewPm.html" TARGET=_blank>Beweis angucken</A><P>Da kann dein Hotel leider auch nix gegen machen.<P> <BLOCKQUOTE><font size="1" face="Verdana, Helvetica, sans-serif">Zitat:</font><HR><BR>Also: wo ist die Unendlichkeitsskala?<BR><HR></BLOCKQUOTE><P>Hmmm, also Unendlichkeitsskale ist so'n Begriff den ich mal einfach hier eingeführt hab. Hab ich immer benutzt um mir das ganze bildlich vorzustellen, d.h. die unterschiedlichen Unendlichkeitsstufen (hehe, da ist wieder so ein Begriff).<BR>Also,<BR>- die Menge der natürl. Zahlen ist abzählbar unendlich<BR>- die der reellen überabzählbar<BR>- die Potenzmenge der reellen Zahlen über-überabzählbar usw., you know?<P>Sicherlich kein präziser Begriff, aber shit happens every day, all day, vor allem in der Mathematik.<P><BR>Bis, dänn odoggy
@braveheart<BR>Wieso sind denn unterschiedliche unendliche Mengen unterschiedlich gross? <BR>Die Grösse zweier Mengen vergleicht man doch, indem man versucht, jedes Element der ersten, einem Element der zweiten Menge zuzuordnen (paaren, wie Du's nennst). <BR>Welche natürliche Zahl kann ich denn keiner geraden Zahl mehr zuordnen? (Wie in Hilbert's Hotel: Ich nehme die bisher höchste zugeordnete gerade Zahl und addiere 2 dazu)
Es gibt mehr irrationale (reelle) als rationale Zahlen (beides unendlich). Es mag zwar in Hilbert's Hotel den Anschein erwecken, ist aber nich so. (Zit.) Jeder Versuch, die irraationalen mit den rationalen Zahlen zu paaren ist zum Scheitern verurteilt. ***>|<BR>Nicht 2 addieren, sondern mit 2 multiplizieren, sonst funzts net [img]images/icons/grin.gif" border="0[/img]
<B><I>WIEVIELE ELEMENTE HAT EINE POTENZMENGE?</I></B> <BR>Unendliche Mengen will ich hier nur behandelt haben, soblad einer geantwortet hat, sonst schließ ich hier den Thread, klar?
Scheint ja SEHR schwierig zu sein [img]images/icons/grin.gif" border="0[/img]
<BLOCKQUOTE><font size="1" face="Verdana, Helvetica, sans-serif">Zitat:</font><HR>Original erstellt von whiteheart:<BR><STRONG>Scheint ja SEHR schwierig zu sein [img]images/icons/grin.gif" border="0[/img]</STRONG><HR></BLOCKQUOTE><P>Hmmm, wenn du nur wissen willst wieviel Elemente eine Potenzmeng hat verweis ich dich auf meinen ersten Beitrag in diesem Thread unter Punkt 1 (endliche Menge), da stehts seit ca. knapp über einer Woche, hehe<P>bis dänn, odoggy
2^n-1, da {} nich dazugehört, oder
ja, 2^n-1 ist trivialer als trivial, am trivialsten. aber mathos Primzahl dingens is auch nett [img]images/icons/grin.gif" border="0[/img]
bitte nichts zu komplexes. kann am Schirm keine langen Texte verstehen und bin erst in der 7. Klasse.
Hmmm, die leere Menge ist genau so ein Element der Potenzmenge wie die ursprüngliche Menge selbst.<P>Also, 2^m !<P>Möglicher Beweisansatz durch vollständige Induktion...<P>bis dänn, odoggy
OK, darüber lässt sich streiten und nen Beweis müsst ich erst sehen.
Nö, also streiten läßt sich darüber nicht, steht in jedem zweitklassigen Mathematikbuch.<BR>Siehe dazu <A HREF="http://www.amazon.de" TARGET=_blank>hier</A>, hehe<P>Behauptung: <BR>Besitzt die Ausgangsmenge M n viele Elemente, so hat die Potenzmenge P(M) 2^n viele Elemente. <P>Beweis:<BR>Den Beweis führen wir "durch Induktion über n", d.h. wir zeigen, <BR>daß die Aussage für n = 0 gültig ist, <BR>und daß aus der Gültigkeit für ein beliebiges n die Gültigkeit für das nächste n, also für n+1, <BR>zwangsweise folgt. <P>1) Hat M 0 Elemente, so ist M = {} , also P(M) = {{}}, d.h. P(M) besitzt 2^0 = 1 Element. <BR>2) Sei M jetzt eine Menge mit n+1 vielen Elementen, etwa M = {a(1),...,a(n),a(n+1)}. <BR>Wir zerlegen P(M) in zwei getrennte Teile P1 und P2, und zwar in diejenigen Teilmengen von M, <BR>die a(n+1) enthalten und die jenigen, die a(n+1) nicht enhalten. <BR>Also: <BR>P1 = {A Teilmenge von M | a(n+1) Element von A } und <BR>P2 = {A Teilmenge von M | a(n+1) kein Element von A }.<BR>Eine genauere Betrachtung von P2 zeigt nun: P2 = P({a(1),...a(n)}), <BR>d.h. P2 ist die Potenzmenge einer n-elementigen Menge, P2 hat somit 2^n viele Elemente <BR>(denn für die Zahl n soll die Aussage ja bereits gültig sein!).<BR>Wir betrachten nun die Mengen in P1. Jedes A aus P1 enthält, wie festgelegt, das Element a(n+1);<BR>wenn man nun dieses Element aus A entfernt, erhält man eine neue Menge A* Teilmenge von M, <BR>die a(n+1) nicht enthält, d.h. A* Element aus P2 . <BR>Umgekehrt kann man jeder Menge aus P2 durch Hinzufügen von a(n+1) eine Menge aus P1 zuweisen. <BR>Dabei heben beide Prozesse jeweils die Wirkung des anderen auf, d.h. die Zuordnung A <-> A* ist eineindeutig. <BR>P1 und P2 haben daher gleichviele Elemente. <BR>Also ist die Elementanzahl von P(M) gleich 2^n+2^n = 2×2^n = 2^(n+1).<P>q.e.d.<P>bis dänn, odoggy
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